Question

【题目】如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD中点，以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置（P平面ABCE）．

（1）证明：AE⊥PB；

（2）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）连接BD，设AE的中点为O，可证，故而AE⊥平面POB，于是AE⊥PB；

（2）证明OP⊥OB，建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．

（1）连接BD，设AE的中点为O，

∵AB∥CE，AB＝CECD，

∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE＝BC＝AD＝DE，

∴△ADE，△ABE为等边三角形，

∴OD⊥AE，OB⊥AE，折叠后，

又OP∩OB＝O，

∴AE⊥平面POB，又PB平面POB，

∴AE⊥PB．

（2）在平面POB内作PQ⊥平面ABCE，垂足为Q，则Q在直线OB上，

∴直线PB与平面ABCE夹角为∠PBO，

又OP＝OB，∴OP⊥OB，

∴O、Q两点重合，即PO⊥平面ABCE，

以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，

则P（0，0，），E（，0，0），C（1，，0），

∴（，0，），（，，0），

设平面PCE的一个法向量为（x，y，z），则，即，

令x得（，﹣1，1），

又OB⊥平面PAE，∴（0，1，0）为平面PAE的一个法向量，

设二面角A﹣EP﹣C为α，则|cosα|＝|cos|，

由图可知二面角A﹣EP﹣C为钝角，所以cosα．