Question

如图已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，且过点A（0，1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M，N两点．求证：直线MN恒过定点P（0，-

3

5

）．

Answer 1

分析：（1）由题意知，e=

c

a

=

3

2

，b=1，a²-c²=1，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）设直线l₁的方程为y=kx+1，由方程组

y=kx+1 x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8kx=0，利用题设条件推导出直线MP与直线NP的斜率相等，从而得到M，N，P三点共线，由此证明直线MN恒过定点P（0，-

3

5

）．

解答：解：（1）由题意知，e=

c

a

=

3

2

，b=1，a²-c²=1，…（4分）
解得a=2，
所以椭圆C的标准方程为

x2

4

+y2=1．…（6分）
（2）设直线l₁的方程为y=kx+1，
由方程组

y=kx+1 x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8kx=0，…（8分）
解得x1=-

8k

4k2+1

，x₂=0，所以xM=-

8k

4k2+1

，y_M=

1-4k2

4k2+1

，…（10分）
同理可得xN=

8k

k2+4

，yN=

k2-4

k2+4

，…（12分）
kMP=

1-4k2 4k2+1 + 3 5

- 8k 4k2+1

=

- 8k2 5 + 8 5

-8k

=

k2-1

5k

，
kNP=

k2-4 k2+4 + 3 5

8k k2+4

=

8k2 5 - 8 5

8k

=

k2-1

5k

，…（14分）
所以M，N，P三点共线，故直线MN恒过定点P（0，-

3

5

）．…（16分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线恒过定点，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．