Question

设圆C与双曲线

x2

9

-

y2

16

=1的渐近线相切，且圆心在双曲线的右焦点，则圆C的标准方程为（　　）

A．（x+5）²+y²=25

B．（x-5）²+y²=25

C．（x+5）²+y²=16

D．（x-5）²+y²=16

Answer 1

分析：根据双曲线的方程算出右焦点为F（5，0），渐近线方程为4x±3y=0．利用点到直线的距离公式算出F到渐近线的距离，得到圆C的半径，即可写出所求圆C的标准方程．

解答：解：∵双曲线

x2

9

-

y2

16

=1中，a=3，b=4
∴c=

a2+b2

=5，得右焦点为F（5，0）
渐近线方程为y=±

4

3

x，即4x±3y=0
设圆C的标准方程为（x-5）²+y²=r²
由渐近线与圆C相切，得r=

|4×5±3×0|

5

=4
∴圆C的标准方程为（x-5）²+y²=16
故选：D

点评：本题给出以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆，求圆的方程．着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式和双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．