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    【题目】如图，四棱柱中，底面是矩形，且， ， ，若为的中点，且．

    （Ⅰ）求证： 平面；

    （Ⅱ）线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．

    【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析．

    【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知得为等边三角形， ，再由，能证明⊥平面ABCD．

    （Ⅱ）过O作Ox∥AB，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出当BP的长为时，二面角的值为

    试题解析：（Ⅰ）证明：∵，且，

    ∴为等边三角形

    ∵为的中点

    ∴，

    又，且，

    ∴平面．

    （Ⅱ）解：过作，以为原点，建立空间直角坐标系（如图）

    则， ，

    设，

    平面的法向量为，

    ∵， ，

    且，

    取，得

    平面的一个法向量为

    由题意得，

    解得或（舍去），

    ∴当的长为时，二面角的值为.

    练习册系列答案
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    【题目】已知函数f(x)＝x2＋bx为偶函数，数列{an}满足an＋1＝2f(an－1)＋1，且a1＝3，an>1.

    (1)设bn＝log2(an－1)，证明：数列{bn＋1}为等比数列；

    (2)设cn＝nbn，求数列{cn}的前n项和Sn.

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    【题目】设函数。

    （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调递减区间和极小值（其中为自然对数的底数）；

    （2）若对任意恒成立，求的取值范围。

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    【题目】为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：

    日期

    4月1日

    4月7日

    4月15日

    4月21日

    4月30日

    温差x/℃

    10

    11

    13

    12

    8

    发芽数y/颗

    23

    25

    30

    26

    16

    (1)从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率；

    (2)从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x＋；

    (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为 (t为参数)，曲线C1的方程为ρ(ρ－4sin θ)＝12，定点A(6，0)，点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．

    (1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；

    (2)直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知二次函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的定义域为[－1，1]，且|f(x)|的最大值为M.

    (1)证明：|1＋b|≤M；

    (2)证明：M≥.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图1，在路边安装路灯，路宽为，灯柱长为米，灯杆长为1米，且灯杆与灯柱成角，路灯采用圆锥形灯罩，其轴截面的顶角为，灯罩轴线与灯杆垂直．

    ⑴设灯罩轴线与路面的交点为，若米，求灯柱长；

    ⑵设米，若灯罩截面的两条母线所在直线一条恰好经过点，另一条与地面的交点为（如图2）

    （图1） （图2）

    （ⅰ）求的值；（ⅱ）求该路灯照在路面上的宽度的长．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．

    （1）应收集多少位女生的样本数据？

    （2）根据这300样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为： ．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；

    （3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．


    0.10

    0.05

    0.010

    0.005


    2.706

    3.841

    6.635

    7.879

    附：

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    【题目】已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.

    (1)求f(x)的单调区间；

    (2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．

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