Question

【题目】已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，

当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，

∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；

当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－或x>，

由f′(x)<0，解得－<x<，

∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调减区间为(－，)．

(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，

∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.

∴f(x)＝x3－3x－1，

f′(x)＝3x2－3，

由f′(x)＝0，

解得x1＝－1，x2＝1.

由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.

因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，

结合如图所示f(x)的图象可知：

m的取值范围是(－3,1)．