Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为正方形，是中点．

（1）求点到平面的距离；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题分析：（1）根据勾股定理可证明平面，从而可分别以为轴、轴，轴，建立空间直角坐标系，先求的方向向量，再出利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面的一个法向量，从而可得线面成角的正弦值，进而可得结果；（2）利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面的一个法向量，结合（1）的结论，利用空间向量夹角余弦公式可得二面角的余弦值.

试题解析：∵正方形边长，

∴，∴，∴平面，

∴分别以为轴、轴，轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

∴，

（1）设平面的一个法向量，

则，令，得，

∴与平面所成角的正弦值，

∴点到平面的距离为；

（2）设平面的一个法向量，

则，令，得，

∴，∴二面角的余弦值为．

【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求二面角与线面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.