Question

【题目】已知中心在坐标原点O，焦点在轴上，离心率为的椭圆C过点

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设不过坐标原点O的直线与椭圆C交于P,Q两点，若,证明：点O到直线的距离为定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，点O到直线的距离为定值.

【解析】试题分析：（Ⅰ）利用待定系数法，根据题意列出方程组，解出即可；（Ⅱ）当直线的斜率都存在时，设直线的方程为，与椭圆的方程联立可得点坐标，从而可算得，设点到直线的距离为，在中可计算出的值，当直线之一的斜率不存在时，另一个的斜率一定为0时，可得结果.

试题解析：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为

又解得，所以椭圆方程为.

（Ⅱ）当直线的斜率都存在时，设直线的方程为，则

得，解得

设点到直线的距离为，在中，

由得

，所以点O到直线的距离为

当直线之一的斜率不存在时，另一个的斜率一定为0，此时P,Q分别为椭圆的长轴和短轴的端点，点O到直线的距离为

综上可知，当时，点O到直线的距离为定值.