Question

（本小题满分12分）双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线y=为的一条渐近线.

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）过点(0,4)的直线，交双曲线于A,B两点，交x轴于点（点与的顶点不重合）。当 =，且时，求点的坐标

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设双曲线方程为

由椭圆 求得两焦点为，对于双曲线，

又为双曲线的一条渐近线, ,

又因为，可以解得 ，

双曲线的方程为.                                         ……4分

（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在且不等于零

设的方程：，，则，

,

,

.                                  ……8分

在双曲线上，

同理有：

若则直线过顶点，不合题意

是二次方程的两根，

，

此时 

所求的坐标为.                                              ……12分

考点：本小题主要考查椭圆与双曲线的基本运算、向量的数量积运算以及直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力以及分类讨论思想的应用.

点评：椭圆与双曲线混合运算时，要注意椭圆中而双曲线中，不要弄混了；而考查直线与圆锥曲线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在.