Question

【题目】已知直线被圆所截得的弦长为8.

（1）求圆的方程；

（2）若直线与圆切于点，当直线与轴正半轴，轴正半轴围成的三角形面积最小时，求点的坐标.

Answer 1

【答案】(1)；(2)．

【解析】

试题分析：(1)利用点到直线的距离公式求出圆心到弦所在直线的距离，再利用弦长公式求出圆的半径即可求解；(2)设出直线和圆的切点，求出切点坐标和切线方程，求出切线方程和坐标轴的交点坐标，利用直角三角形的面积公式得到表达式，再利用基本不等式求其最值．

试题解析：（1）因为圆的圆心到直线的距离为，………………1分

所以.………………2分

所以圆的方程.………………3分

（2）设直线与圆切于点，

则.………………4分

因为，所以圆的切线的斜率为.………………5分

则切线方程为，即.………………6分

则直线与轴正半轴的交点坐标为，与轴正半轴的交点坐标为.

所以围成的三角形面积为.………………9分

因为，所以.

当且仅当时，等号成立.………………10分

因为，,所以，

所以.

所以当时，取得最小值18.………………11分

所以所求切点的坐标为.………………12分