Question

已知函数（a＞0）．
（1）若函数f（x）有三个零点分别为x₁，x₂，x₃，且x₁+x₂+x₃=-3，x₁x₂=-9，求函数f（x）的单调区间；
（2）若，3a＞2c＞2b，证明：函数f（x）在区间（0，2）内一定有极值点；
（3）在（2）的条件下，若函数f（x）的两个极值点之间的距离不小于，求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据函数零点的概念，x₁，x₂，x₃，即为=0的三个实数根，则x₃=0，结合韦达定理得出，，由此f′（x）=a（x-1）（x+3），单调区间可求．
（2）由条件得出f′（1）=a+b+c=＜0，整理3a+2b+2c=0，又f′（2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．考察f′（0），f′（1），f′（2）的符号，利用f′（x）在（0，2）内由零点（需对c的取值进行讨论）进行证明．
（3）设m，n是函数的两个极值点，则m，n也是导函数 f′（x）=ax²+bx+c=0的两个零点．可得出|m-n|，关于的不等式，并结合约束条件2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b得出取值范围．
解答：（1）因为函数=x（）（a＞0），又x₁+x₂+x₃=-3，x₁x₂=-9，则x₃=0，x₁+x₂=-3，x₁x₂=-9（1分）
因为x₁，x₂是方程=0的两根，
则，，得，，（3分）
所以=a（x²+2x-3）=a（x-1）（x+3）．
令 f′（x）=0 解得：x=1，x=-3
故f（x）的单调递减区间是（-3，1），单调递增区间是（-∞，-3），（1，+∞）． （5分）
（2）因为 f′（x）=ax²+bx+c，，，所以a+b+c=，即3a+2b+2c=0．
又a＞0，3a＞2c＞2b，，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0．b＜0．（7分）
于是＜0，f′（0）=c，f′（2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．（8分）
①当c＞0时，因为f′（0）=c＞0，＜0，而f′（x）在区间（0，1）内连续，则f′（x）在区间（0，1）内至少有一个零点，设为x=m，则在x∈（0，m），f′（x）＞0，
f（x）单调递增，在x∈（m，1），f′（x）＜0，f（x）单调递减，故函数f（x）在区间（0，1）内有极大值点x=m； （9分）
②当c≤0时，因为＜0，f′（2）=a-c＞0，则f′（x）在区间（1，2）内至少有一零点．
同理，函数f（x）在区间（1，2）内有极小值点．
综上得函数f（x）在区间（0，2）内一定有极值点． （10分）
（3）设m，n是函数的两个极值点，则m，n也是导函数 f′（x）=ax²+bx+c=0的两个零点，由（2）得
3a+2b+2c=0，则m+n=-，mn==．所以|m-n|===  
由已知，，则两边平方≥3，得出≥1，或≤-1，即≥-1，或≤-3
又2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b，所以3a＞-3a-2b＞2b，即-3a＜b＜-a．
因为a＞0，所以-3＜＜-．
综上分析，的取值范围是[-1，-）．
点评：本题是函数与不等式的综合．考查函数零点的知识，导数在研究函数性质的应用，不等式的性质．需具有分析解决、代换转化，推理计算能力．