Question

【题目】已知函数.

（1）若函数，试研究函数的极值情况；

（2）记函数在区间内的零点为，记，若在区间内有两个不等实根，证明：.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】

试题分析：（1）由求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可得函数的极值情况；（2）先证明，即在区间内单调递增，根据零点存在性定理， 存在

，使得，可得以，要证，只需证，即，记，其中，利用导数可证明单调递增，故当时，，即可得，进而可得结果.

试题解析：（1）由题意，得，

故，

故，

.

令，得

①当时，，

或；

,

所以在处取极大值，

在处取极小值.

②当时，，恒成立，所以不存在极值；

③当时，，或；

,

所以在处取极大值，

在处取极小值.

综上，当时，在处取极大值，在处取极小值；当时，不存在极值；时，在处取极大值，在处取极小值.

（2），定义域为，

，而，

故，即在区间内单调递增

又，，

且在区间内的图象连续不断，

故根据零点存在性定理，有在区间内有且仅有唯一零点.

所以存在，使得，

且当时，；

当时，，

所以

当时，，

由得单调递增；

当当时，，

由得单调递减；

若在区间内有两个不等实根（）

则.

要证，即证

又，而在区间内单调递减，

故可证，

又由，

即证，

即

记，其中

记，则，

当时，；

当时，，

故

而，故，

而，

所以，

因此，

即单调递增，故当时，，

即，故，得证.