Question

【题目】如图，三棱柱中，四边形为菱形，，平面平面，在线段上移动，为棱的中点.

（1）若为线段的中点，为中点，延长交于，求证：平面；

（2）若二面角的平面角的余弦值为，求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）取BB1中点E，连接AE，EH，推导出EH∥B1Q，AE∥PB1，从而平面EHA∥平面B1QP，由此能证明AD∥平面B1PQ．

（2）连接PC1，AC1，推导出AA1=AC=A1C1=4，△AC1A1为正三角形，推导出PC1⊥AA1，从而PC1⊥平面ABB1A1，建立空间直角坐标系Pxyz，利用向量法能求出点P到平面BQB1的距离．

解：（1）证明：如图，取中点，连接

∵为中点，∴

在平行四边形中，分别为的中点，∴

又，，

∴平面平面

∵平面，∴平面.

（2）连接，

∵四边形为菱形，∴

又，∴为正三角形

∵为的中点，∴

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面，

在平面内过点作交于点

建立如图所示的空间直角坐标系，则

，

设，

∴，

∴

∵，，∴，∴

设平面的法向量为，

则得，令，则，

∴平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，二面角的平面角为，

则

∴或（舍），∴，∴.

又，∴，∴

连接，设点到平面的距离为，则

∴，即点到平面的距离为.