Question

【题目】已知函数的图象与轴相切．

（1）求的值．

（2）求证：．

（3）若，求证：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）先设切点，根据导数几何意义列方程组，解得结果；

（2）先化简不等式为，再构造函数，利用导数求其最大值，根据最大值证不等式；

（3）先求导数，再求导函数零点，利用（2）证，最后利用导数求其单调性与最值，根据最值证得不等式.

（1）解：设切点，则即∴．

（2）证明：∵，∴等价于．

设，则．

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

∴，即，∴．

（3）证明：设，．

由，得．

由（2）得，当时， ，所以当时，得．

当时， ，以代换，得，有，

所以当时，得，

∴当时，有．

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

又∵，∴当时，，即．