Question

【题目】随机将1,2，…，2n(n∈N*，n≥2)这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数．A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2，记ξ＝a2－a1，η＝b2－b1.

(1)当n＝3时，求ξ的分布列和数学期望；

(2)令C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P(C)；

(3)对(2)中的事件C， 表示C的对立事件，判断P(C)和P()的大小关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】(1) 见解析;(2) 见解析;(3) 见解析.

【解析】试题分析：（1）写出变量的可能取值及对应的概率值，即可列出分布列，从而求得数学期望；

（2）求出总基本事件个数及满足条件的事件个数，即可求解；

（3）写出两个概率，用数学归纳法求解即可。

试题解析：(1)当n＝3时，ξ的所有可能取值为2,3,4,5.

将6个正整数平均分成A、B两组，不同的分组方法共有C＝20种，所以ξ的分布列为

ξ	2	3	4	5
P

E(ξ)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.

(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为：n－1，n，n＋1，…，2n－2.

又ξ和η恰好相等且等于n－1时，不同的分组方法有2种；

ξ和η恰好相等且等于n时，不同的分组方法有2种；

ξ和η恰好相等且等于n＋k(k＝1,2，…，n－2)(n≥3)时，不同的分组方法有2C种；

∴当n＝2时，P(C)＝＝，

当n≥3时，P(C)＝

(3)由(2)知，当n＝2时，P()＝，因此P(C)＞P()．

而当n≥3时，P(C)＜P()，理由如下：

P(C)＜P()等价于4(2＋)＜C.①

用数学归纳法来证明：

1°当n＝3时，①式左边＝4(2＋C)＝4(2＋2)＝16，①式右边＝C＝20，所以①式成立．

2°假设n＝m(m≥3)时①式成立，

即4(2＋)＜C成立，

那么，当n＝m＋1时，

左边＝4(2＋)

＝4(2＋)＋4C＜C＋4C

＝＋

＝

＜

＝C·＜C＝右边．

即当n＝m＋1时①式也成立．

综合1°，2°得：对于n≥3的所有正整数，都有P(C)＜P()成立.