Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是边长为2的正三角形，AB=BD= ，PB=
（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）设Q是棱PC上的点，当PA∥平面BDQ时，求二面角A﹣BD﹣Q的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：取AD中点O，连结OP，OB， ∵PAD是边长为2的正三角形，∴ ，
∵ ，
∴OB2+OP2=PB2 ， 则OP⊥OB，
∵OB∩AD=O，∴OP⊥平面ABCD，
又OP平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：连接AC交BD于E，连接QE，
∵PA∥平面BDQ，∴PA∥QE，
又E为AC的中点，∴Q为PC的中点．
以O为原点，分别以OA、OB、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（0，2，0），D（﹣1，0，0），Q（﹣1，1， ）．
．
设平面BDQ的一个法向量为 ．
由 ，得 ，取z=2 ，得 ．
由图可知，平面ABD的一个法向量 ．
∴cos＜ ＞= = ．
∴二面角A﹣BD﹣Q的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）取AD中点O，连结OP，OB，求解三角形可得OP⊥AD，OP⊥OB，再由线面垂直的判定可得OP⊥平面ABCD，进一步得到平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）连接AC交BD于E，连接QE，由线面平行的性质可得PA∥QE，则Q为PC的中点．以O为原点，分别以OA、OB、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到平面BDQ与平面ABD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角A﹣BD﹣Q的余弦值．