Question

【题目】设过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，若以为直径的圆过点，且与轴交于， 两点，则（ ）

A. 3 B. 2 C. -3 D. -2

Answer 1

【答案】C

【解析】抛物线焦点坐标为F（1，0），准线方程为x=﹣1

设直线MN的方程为x=ty+1，A、B的坐标分别为（，y1），（，y2）

联立直线和抛物线得到方程：y2﹣4my﹣4=0，

∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4，

x1+x2=ty1+1+ty2+1=t（y1+y2）+2=4t2+2， =2t2+1， =2t，

则圆心D（2t2+1，2t），

由抛物线的性质可知：丨AB丨=x1+x2+p=4（t2+1），

由P到圆心的距离d=，由题意可知：d=丨AB丨，

解得：t=1，则圆心为（3，2），半径为4，∴圆的方程方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=42，

则当y=0，求得与x轴的交点坐标，假设m＞n，则m=3﹣2，n=3+2，

∴mn=（3﹣2）（3+2）=﹣3，

故选：C．