【题目】如图，矩形
和菱形
所在的平面相互垂直，
，
为
的中点.
(Ⅰ)求证：
平面
；
(Ⅱ) 求
，
，求二面角
的余弦值.
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由矩形
和菱形
所在的平面相互垂直，
，进而证得
平面，证得
，再根菱形ABEF的性质，证得
，利用线面垂直的判定定理，即可证得
平面
.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知
，
，
两两垂直，以
为原点，为
轴，为
轴，为
轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面ACD和平面ACG一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.
（Ⅰ）证明：∵矩形和菱形所在的平面相互垂直，，
∵矩形
菱形
，∴平面，
∵AG
平面，∴，
∵菱形中，
，
为
的中点，∴
，∴，
∵
，∴平面.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知，，两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，
∵
，
，则
，
，
故
，
，
，
，
则
，
，
，
设平面
的法向量
，则
，
取
，得
，
设平面
的法向量
，则
，
取
，得
，
设二面角
的平面角为
，则
，
由图可知为钝角，所以二面角的余弦值为 .
口算题天天练系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在极坐标系中，已知曲线
：
和曲线
：
，以极点
为坐标原点，极轴为
轴非负半轴建立平面直角坐标系.
（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；
（2）若点
是曲线上一动点，过点作线段
的垂线交曲线于点
，求线段
长度的最小值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，离心率为
，
为椭圆上一动点（异于左右顶点），
面积的最大值为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）若直线
与椭圆相交于点
两点，问
轴上是否存在点
，使得
是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数
，
（其中a是常数）.
（1）求过点
与曲线
相切的直线方程；
（2）是否存在
的实数，使得只有唯一的正数a，当
时不等式
恒成立，若这样的实数k存在，试求k，a的值；若不存在.请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】设椭圆
，过点
的直线
，
分别交
于不同的两点
、
，直线
恒过点
（1）证明：直线，的斜率之和为定值；
（2）直线，分别与
轴相交于
，
两点，在轴上是否存在定点
，使得
为定值?若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
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