Question

【题目】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2B＋cosB＝1－cosAcosC.

（1）求证：a，b，c成等比数列；

（2）若b＝2，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】分析：（1）根据正弦定理，结合等比数列的定义即可得到结论．
（2）由，可得，利用余弦定理求得的最小值，可得 的最大值．由的面积

可得它的最大值．

详解：

（1）证明：在△ABC中，cosB＝－cos(A＋C)．

由已知，得(1－sin2B)－cos(A＋C)＝1－cosAcosC，

∴－sin2B－(cosAcosC－sinAsinC)＝－cosAcosC，

化简，得sin2B＝sinAsinC.由正弦定理，得b2＝ac，

∴a，b，c成等比数列．

（2）由(1)及题设条件，得ac＝4.

则cosB＝＝≥＝，

当且仅当a＝c时，等号成立．

∵0<B<π，∴sinB＝≤＝.

∴S△ABC＝acsinB≤×4×＝.

∴△ABC的面积的最大值为.