Question

【题目】已知偶函数满足：当时，，，当时，．

（）求当时，的表达式．

（）若直线与函数的图象恰好有两个公共点，求实数的取值范围．

（）试讨论当实数，满足什么条件时，函数有个零点且这个零点从小到大依次成等差数列．

Answer 1

【答案】(1).

(2)

(3) 时，．时，．时，符合题意．

【解析】分析：（）由题意结合偶函数的性质可得当时，的表达式为．

（）由题意分类讨论可得实数的取值范围是．

（）由题意结合二次函数的性质分类讨论可得时，．时，．时，．

详解：（）设，则，

∴，

又∵是偶函数，

∴．

（）（Ⅰ）时，，，

，

∴，

∴，

∴．

（Ⅱ）时，满足题意．

综上，所以．

（）零点，，，，与交点个且均匀分布，

（Ⅰ）时得：

，，，，，．

（Ⅱ）时，时，

且，

所以时，．

（Ⅲ）时，时，

（Ⅳ）时，

，

，

此时．

所以（舍），

，所以时，

时存在．

综上：

（）时，．

（）时，．

（）时，符合题意．