Question

【题目】已知m，n，s，t∈R+ ， m+n=2， + =9，其中m，n是常数，当s+t取最小值 时，m，n对应的点（m，n）是椭圆 =1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程 ．

Answer 1

【答案】x+2y﹣3=0
【解析】解：∵sm、n、s、t为正数，m+n=2， + =9， s+t最小值是 ，
∴（ + ）（s+t）的最小值为4．
∴（ + ）（s+t）=n+m+ + ≥m+n+2 =m+n+2 ，
满足 时取最小值，
此时最小值为m+n+2 =2+2 =4，
得：mn=1，又：m+n=2，所以，m=n=1．
设以（1，1）为中点的弦交椭圆 =1于A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
由中点从坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=2，
把A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）分别代入x2+2y2=4，得
，
① ﹣②，得2（x1﹣x2）+4（y1﹣y2）=0，
∴k= =﹣ ，
∴此弦所在的直线方程为y﹣1=﹣ （x﹣1），
即x+2y﹣3=0．
所以答案是：x+2y﹣3=0．