【题目】已知圆
过定点
，圆心在抛物线
上，
、
为圆与
轴的交点.
（1）求圆半径的最小值；
（2）当圆心在抛物线上运动时，
是否为一定值？请证明你的结论；
（3）当圆心在抛物线上运动时，记
，
，求
的最大值，并求此时圆的方程.
【答案】（1）
；（2）
，证明见解析；（3）
，
【解析】
（1）设半径为
，根据抛物线方程设出圆心坐标，然后根据圆心和定点写出半径的表达式，计算的最小值即可；
（2）根据（1）中的表示，写出圆的方程，令
计算出
的横坐标，计算
是否为定值即可证明；
（3）计算出
的值，然后利用已求的值对
进行化简，再根据基本不等式确定最大值，从而求出圆心坐标和半径确定出圆的方程.
（1）设圆心坐标为
，半径为，所以
，取等号时
，所以；
（2）因为圆心坐标为，半径
，所以圆的方程为：
，
令，所以
，所以
，所以
，所以
为定值
；
（3）由（2）可知：取
，
，
所以
，
，
所以
，
所以
的最大值为，
取等号时
，所以
，所以圆心坐标为
，半径
，
所以圆的方程为：.
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【题目】在平面直角坐标系中，已知曲线
上的动点
到点
的距离与到直线
的距离相等．
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）过点
分别作射线
、
交曲线于不同的两点
、
，且以
为直径的圆经过点
．试探究直线是否过定点？如果是，请求出该定点；如果不是，请说明理由．
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【题目】如图所示，
是一块边长为7米的正方形铁皮，其中
是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC与CD上的长方形铁皮
，其中P是
上一点．设
，长方形的面积为S平方米．
（1）求S关于
的函数解析式；
（2）设
，求S关于t的表达式以及S的最大值．
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【题目】已知两个无穷数列
和
的前
项和分别为
、
，
，
，对任意的
，都有
.
（1）求数列的通项公式；
（2）若为等差数列，对任意的，都有
，证明：
；
（3）若为等比数列，
，
，求满足
（
）的的值.
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【题目】数列
的前
项和为
，若数列的各项按如下规律排列：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，…，
，
， …，
，…有如下运算和结论：①
；②数列
，
，
，
，…是等比数列；③数列，，，，…的前项和为
；④若存在正整数
，使
，
，则
．其中正确的结论是_____．（将你认为正确的结论序号都填上）
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【题目】已知AB是圆O的直径，C，D是圆上不同两点，且
，
，
圆O所在平面．
（1）求直线PB与CD所成角；
（2）若PB与圆O所在平面所成角为
，且
，求二面角
的余弦值.
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【题目】某电动车售后服务调研小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：
，绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求续驶里程在
的车辆数；
（2）求续驶里程的平均数；
（3）若从续驶里程在的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在
内的概率.
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