Question

已知函数f(x)=|1-|.

(1)是否存在a＜b且a,b∈［1,+∞),使得当函数f(x)的定义域为［a,b］时,值域为［a, b］?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.

(2)若存在实数a,b(a＜b),使得函数f(x)的定义域为［a,b］,值域为［ma,mb］(m≠0),求实数m的取值范围.

Answer 1

解:(1)若存在，则由于当a,b∈［1,+∞)时，f(x)=1-在［1,+∞)上单调递增，则f(a)= a,f(b)= b，可知a,b是方程式x²-8x+8=0的实根，求得a=4-22,b=4+22满足条件.

?

(2)若存在，则易知M＞0，a＞0,?

当a,b∈(0，1)时，由于f(x)= -1在(0，1)上单调递减，

则可得f(a)=Mb,f(b)=Ma,则得-1=Mb，-1=Ma,相减得=M(b-a).

由于a≠b,则M=,所以-1=Mb=-1=0,这是不可能的，故此时不存在实数a,b满足条件.                                                                                                        ?

当a∈(0,1),b∈［1,+∞)时，显然1∈［a,b］,而f(1)=0,则0∈［a,b］，矛盾.故此时也不存在实数a,b满足条件.                                                                                       ?

当a,b∈［1,+∞)时，由于f(x)=1-在［1,+∞)上单调递增，则f(a)=Ma,f(b)=Mb,则得a,b是方程Mx²-x+1=0的两个大于1的实根，则由Δ＞0,＞1可得M的取值范围是(0，).