Question

如图，已知ABCD－A₁B₁C₁D₁是棱长为3的正方体，点E在AA₁上，点F在CC₁上，且AE＝FC₁＝1.

(1)求证：E，B，F，D₁四点共面；

(2)若点G在BC上，BG＝，点M在BB₁上，GM⊥BF，垂足为H，求证：

EM⊥平面BCC₁B₁；

(3)用θ表示截面EBFD₁和侧面BCC₁B₁所成的锐二面角的大小，求tanθ.

Answer 1

(1)建立如图所示的空间直角坐标系，

则＝(3,0,1)，＝(0,3,2)，＝(3,3,3)，

所以＝＋，

故，，共面.

又它们有公共点B，

所以E，B，F，D₁四点共面.

(2)设M(0,0，z)，则＝(0，－，z)，

而＝(0,3,2)，

由题设得·＝－×3＋z·2＝0，

得z＝1.因为M(0,0,1)，E(3,0,1)，

有＝(3,0,0)，

又＝(0,0,3)，＝(0,3,0)，

所以·＝0，·＝0，

从而ME⊥BB₁，ME⊥BC.

又BB₁∩BC＝B，

故ME⊥平面BCC₁B₁.

(3)设向量＝(x，y,3)且BP⊥截面EBFD₁，

于是⊥，⊥.

而＝(3,0,1)，＝(0,3,2)，

得·＝3x＋3＝0，·＝3y＋6＝0，

解得x＝－1，y＝－2，

所以＝(－1，－2,3).

又＝(3,0,0)且BA⊥平面BCC₁B₁，

所以和的夹角等于θ或π－θ(θ为锐角).

于是cosθ＝＝.

故tanθ＝.