Question

【题目】如图所示,正三角形ABC所在平面与梯形BCDE所在平面垂直,,=4 ,,F为棱AE的中点.

(1)求证：平面平面；

(2)若直线与平面所成角为,求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析，；(2)

【解析】(1)如图,取中点,连接、,因为为中点,所以,又,,

所以,所以四边形为平行四边形,所以.又为正三角形,所以

,从而, (2分)

由,,可得,由平面ABC平面BCDE,平面ABC平面BCDE=BC,

可得平面ABC,因为平面ABC,所以,

因为,所以平面,

又平面,所以平面平面.(5分)

(2)因为,,所以,又,,

所以平面,所以平面,

所以为与平面所成的角,即,从而.(7分)

以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

则,,,,,

所以,.(8分)

设平面的法向量为,则,即,解得.

令,得.

由(1)可知平面,所以为平面的一个法向量.

所以.

因为二面角为钝角,所以其余弦值为.(12分)