Question

【题目】已知函数.

（1）讨论在上的单调性；

（2）当时，求在上的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增（2）有1个零点

【解析】

（1）求得的导函数，对分成和两种情况，分类讨论的单调性.

（2）当时，利用的二阶导数判断出一阶导数的单调性，结合零点存在性定理求得的零点，由此判断出的单调区间，再结合零点存在性定理，判断出在区间上的零点个数.

（1）因为，所以.

因为，所以.

①当，即时，，

所以在上单调递增.

②当，即时，令，得.

当时，，所以，

当时，，所以，

所以在上单调递减，在上单调递增.

综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）当时，，则.

设，则.

当时，，所以在上单调递增.

因为，，所以存在，使得，

且在上，单调递减，在上，单调递增.

所以为在上的最小值.

又因为，，

所以在上有1个零点.