Question

将直线y=-5x+15绕着它与x轴的交点按逆时针方向旋转θ角后，恰好与圆x²+y²+4x+2y-8=0相切，求旋转角θ的最小值．

Answer 1

令直线y=-5x+15中y=0，解得：x=3，
∴直线与x轴的交点为P（3，0），
把已知圆化为标准方程得：（x+2）²+（y+1）²=13，
∴圆心C（-2，-1），半径为r=

13

，…（4分）
显然切线存在斜率，
∴设切线方程为y=k（x-3），即kx-y-3k=0，
由圆心到切线的距离等于半径可知：

|5k-1|

1+k2

=

13

，
整理得：（5k-1）²=13（1+k²），即（3k+2）（2k-3）=0，
解得：k=-

2

3

或k=

3

2

，
由题设逆时针旋转可知应取k=-

2

3

，…（8分）
∴由到角公式知tanθ=

- 2 3 +5

1+ 10 3

=1，
则故旋转角θ的最小值为

π

4

．…（12分）