Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1．
（1）若函数y=f（x）在x=-2时有极值，求f（x）表达式；
（2）若函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出导函数，令导函数在1处的值为3，在-2处的值为0，函数在1处的值为4，列出方程组求出a，b，c的值．
（2）令导函数大于等于0在[-2，1]上恒成立，通过对对称轴与区间关系的讨论求出导函数在区间的最小值，令最小值大于等于0，求出b的范围．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b
∵曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1．
∴

f′(1)=3 f(1)=4

即

3+2a+b=3 1+a+b+c=4

∵函数y=f（x）在x=-2时有极值
∴f′（-2）=0即-4a+b=-12
∴

3+2a+b=3 1+a+b+c=4 -4a+b=-12

解得a=2，b=-4，c=5
∴f（x）=x³+2x²-4x+5
（2）由（1）知，2a+b=0
∴f′（x）=3x²-bx+b
∵函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增
∴f′（x）≥0即3x²-bx+b≥0在[-2，1]上恒成立
①当x=

b

6

≥1时f′（x）的最小值为f′（1）=1-b+b≥0∴b≥6
②当x=

b

6

≤-2时，f′(x)的最小值为f′（-2）=12+2b+b≥0∴b∈∅
③-2＜

b

6

＜1时，f′（x）的最小值为

12b-b2

12

≥0
∴0≤b≤6
总之b的取值范围是0≤b≤6

点评：本题考查导数的几何意义：导数在切点处的值是切线的斜率；考查函数单调递增对应的导函数大于等于0恒成立，．