Question

已知函数f(x)=

3

8

x2+lnx+2，g（x）=x．
（Ⅰ）求函数F（x）=f（x）-2•g（x）的极值点；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）-2•g（x）在[e^t，+∞）（t∈Z）上有零点，求t的最大值；
（Ⅲ）证明：当x＞0时，有[1+g(x)]

1

g(x)

＜e成立；若bn=g(n)

1

g(n+1)

（n∈N^*），试问数列{b_n}中是否存在b_n=b_m（n≠m）？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，请说明理由．（e为自然对数的底数）

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数F（x）=f（x）-2•g（x），代入整理，并求导得F′(x)=

(3x-2)(x-2)

4x

，令导数等于0，得F（x）的极值点；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F（x）在x∈[

2

3

，+∞)上有最小值F（2），且F（2）＞0，∴F（x）在x∈[

2

3

，+∞)上无零点；
若函数F（x）在[e^t，+∞）（t∈Z）上有零点，且考虑到F（x）在(0，

2

3

]单调递增，在[

2

3

，2]单调递减，故只须et＜

2

3

且F（e^t）≤0即可；易验证F（e^-1）＞0，F（e^-2）＜0；所以，当t≤-2且t∈Z时均有F（e^t）＜0，此时函数F（x）在[e^t，e^-1）（t∈Z）上有零点，且t的最大值为-2．
（Ⅲ）要证明“x＞0时，不等式[1+g(x)]

1

g(x)

＜e”成立，即证“(1+x)

1

x

＜e”成立，化简为ln（1+x）＜x，
构造函数h（x）=ln（1+x）-x（其中x＞0），则h′（x）＜0，所以函数h（x）在（0，+∞）上是减函数，即x＞0时，h（x）＜h（0）=0，也即x＞0时，ln（1+x）＜x成立，即证x＞0时，[1+g(x)]

1

g(x)

＜e成立； 
由bn=n

1

n+1

，得

(bn+1)(n+1)(n+2)

(bn)(n+1)(n+2)

=

(n+1)n+1

nn+2

=

n+1

n2

•(1+

1

n

)n＜

e(n+1)

n2

＜

3(n+1)

n2

；
令

3(n+1)

n2

＜1，得n²-3n-3＞0，又n∈N^*，可得n≥4；即n≥4时，有

(bn+1)(n+1)(n+2)

(bn)(n+1)(n+2)

＜1，
所以n≥4时，b_n＞b_n+1，比较b₁、b₂、b₃、b₄知：b₁＜b₂＜b₃＜b₄，由b₁=1，且n≠1时bn=n

1

n+1

≠1，所以若数列{b_n}中存在相等的两项，只能是b₂、b₃与后面的项可能相等，由b2=2

1

3

=8

1

9

=b8，b3=3

1

4

＞b5=5

1

6

，所以数列{b_n}中存在唯一相等的两项，是b₂=b₈．

解答：解：（Ⅰ）由题知：F(x)=

3

8

x2+lnx+2-2x，定义域为（0，+∞）；求导，得F′(x)=

(3x-2)(x-2)

4x

，令F′（x）=0
，得x=

2

3

，或x=3；∴函数F（x）的单调递增区间为(0，

2

3

]和[2，+∞)，F（x）的单调递减区间为[

2

3

，2]，
即x=

2

3

为F（x）的极大值点，x=2为F（x）的极小值点；
（Ⅱ）∵F（x）在x∈[

2

3

，+∞)上的最小值为F（2），且F（2）=

3

8

×22-4+2+ln2=ln2-

1

2

=

ln4-1

2

＞0；
∴F（x）在x∈[

2

3

，+∞)上没有零点；要使函数F（x）在[e^t，+∞）（t∈Z）上有零点，并考虑到F（x）在(0，

2

3

]单调递增且在[

2

3

，2]单调递减，故只须et＜

2

3

且F（e^t）≤0即可；
易验证F(e-1)=

3

8

•e-2+1-2e-1＞0，F(e-2)=

3

8

•e-4+lne-2+2-2e-2=

1

e2

(

3

8

•e-2-2)＜0，
所以，当t≤-2且t∈Z时均有F（e^t）＜0，此时函数F（x）在[e^t，e^-1）（t∈Z）上有零点，
即函数F（x）在[e^t，+∞）（t∈Z）上有零点时，t的最大值为-2．
（Ⅲ） 要证明：当x＞0时，不等式[1+g(x)]

1

g(x)

＜e成立，
即证：(1+x)

1

x

＜e?

1

x

ln(1+x)＜1?ln(1+x)＜x成立，
构造函数h（x）=ln（1+x）-x（其中x＞0），则h′(x)=

1

1+x

-1=

-x

1+x

＜0，
所以函数h（x）在（0，+∞）上是减函数，因而x＞0时，h（x）＜h（0）=0，
即：x＞0时，ln（1+x）＜x成立，所以当x＞0时，[1+g(x)]

1

g(x)

＜e成立； 
因为bn=n

1

n+1

，所以

(bn+1)(n+1)(n+2)

(bn)(n+1)(n+2)

=

(n+1)n+1

nn+2

=

n+1

n2

•(1+

1

n

)n＜

e(n+1)

n2

＜

3(n+1)

n2

，
令

3(n+1)

n2

＜1，得：n²-3n-3＞0，结合n∈N^*得：n≥4，
因此，当n≥4时，有

(bn+1)(n+1)(n+2)

(bn)(n+1)(n+2)

＜1，
所以当n≥4时，b_n＞b_n+1，即：b₄＞b₅＞b₆＞…，
又通过比较b₁、b₂、b₃、b₄的大小知：b₁＜b₂＜b₃＜b₄，
因为b₁=1，且n≠1时bn=n

1

n+1

≠1，所以若数列{b_n}中存在相等的两项，只能是b₂、b₃与后面的项可能相等，
又b2=2

1

3

=8

1

9

=b8，b3=3

1

4

＞b5=5

1

6

，所以数列{b_n}中存在唯一相等的两项，
即：b₂=b₈．

点评：本题考查了数列与函数的综合应用，考查了利用导数研究函数的单调性和最值问题，也考查了数列与不等式的应用，是较难的题目．