Question

【题目】田忌赛马是史记中记载的一个故事，说的是齐国将军田忌经常与齐国众公子赛马，孙膑发也们的马脚力都差不多，都分为上、中、下三等于是孙膑给田忌将军制定了一个必胜策略：比赛即将开始时，他让田忌用下等马对战公子们的上等马，用上等马对战公子们的中等马，用中等马对战公子们的下等马，从而使田忌赢得公子们许多赌注假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛获胜的概率如表所示：

田忌的马获胜概率公子的马	上等马	中等马	下等马
上等马			1
中等马
下等马	0

比赛规则规定：一次比由三场赛马组成，每场由公子和田忌各出一匹马出骞，结果只有胜和负两种，并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同，三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者．

如果按孙膑的策略比赛一次，求田忌获胜的概率；

如果比赛约定，只能同等级马对战，每次比赛赌注1000金，即胜利者赢得对方1000金，每月比赛一次，求田忌一年赛马获利的数学期望．

Answer 1

【答案】（1）0.72；（2）见解析

【解析】

由题意知，田忌第三场比赛必输，则前两场比赛都胜，因而利用相互独立事件的概率乘法公式可得出答案；

先计算出田忌比赛一次获胜的概率，并计算出田忌比赛一次获利的数学期望，这个期望乘以12即可得出田忌一年赛马获利的数学期望。

（1）记事件A：按孙膑的策略比赛一次，田忌获胜，

对于事件A，三场比赛中，由于第三场必输，则前两次比赛中田忌都胜，

因此，；

设田忌在每次比赛所得奖金为随机变量，则随机变量的可能取值为和1000，

若比赛一次，田忌获胜，则三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜、负胜胜、胜负胜、胜胜负，

设比赛一次，田忌获胜的概率为，则．

随机变量的分布列如下表所示：

		1000

所以，．

因此，田忌一年赛马获利的数学期望为金。