【题目】已知函数.
Ⅰ当时,取得极值,求的值并判断是极大值点还是极小值点;
Ⅱ当函数有两个极值点,,且时,总有成立,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ),为极大值点(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)求出函数的导数,求出a的值,得到函数的单调区间,求出函数的极值点即可;
(Ⅱ)求出函数极值点,问题转化为[2lnx1]>0,根据0<x1<1时,0.1<x1<2时,0.即h(x)=2lnx(0<x<2),通过讨论t的范围求出函数的单调性,从而确定t的范围即可.
(Ⅰ),,则
从而,所以时,,为增函数;
时,,为减函数,所以为极大值点.
(Ⅱ)函数的定义域为,有两个极值点
,,则在上有两个不等的正实根,所以,
由可得
从而问题转化为在,且时成立.
即证成立.
即证 即证
亦即证 . ①
令则
1)当时,,则在上为增函数且,①式在上不成立.
2)当时,
若,即时,,所以在上为减函数且,
、在区间及上同号,故①式成立.
若,即时,的对称轴,
令,则时,,不合题意.
综上可知:满足题意.
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【题目】田忌赛马是史记中记载的一个故事,说的是齐国将军田忌经常与齐国众公子赛马,孙膑发也们的马脚力都差不多,都分为上、中、下三等于是孙膑给田忌将军制定了一个必胜策略:比赛即将开始时,他让田忌用下等马对战公子们的上等马,用上等马对战公子们的中等马,用中等马对战公子们的下等马,从而使田忌赢得公子们许多赌注假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛获胜的概率如表所示:
田忌的马获胜概率公子的马 | 上等马 | 中等马 | 下等马 |
上等马 | 1 | ||
中等马 | |||
下等马 | 0 |
比赛规则规定:一次比由三场赛马组成,每场由公子和田忌各出一匹马出骞,结果只有胜和负两种,并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同,三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者.
如果按孙膑的策略比赛一次,求田忌获胜的概率;
如果比赛约定,只能同等级马对战,每次比赛赌注1000金,即胜利者赢得对方1000金,每月比赛一次,求田忌一年赛马获利的数学期望.
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【题目】如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图,现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不同,则区域涂色不相同的概率为
A. B. C. D.
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【题目】如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动,点恰好经过原点.设顶点的轨迹方程是,则对函数有下列判断:①函数是偶函数;②对任意的,都有;③函数在区间上单调递减;④函数的值域是;⑤.其中判断正确的序号是__________.
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【题目】如图,在四棱锥中,等边三角形PCD所在的平面垂直于底面ABCD,,M是棱PD的中点.
Ⅰ求证:平面PCD;
Ⅱ求三棱锥的体积;
Ⅲ过B做平面与平面PAD平行,设平面截四棱锥所得截面面积为S,试求S的值.
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【题目】在平行四边形中,,,,是EA的中点(如图1),将沿CD折起到图2中的位置,得到四棱锥是.
(1)求证:平面PDA;
(2)若PD与平面ABCD所成的角为.且为锐角三角形,求平面PAD和平面PBC所成锐二面角的余弦值.
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【题目】某市10000名职业中学高三学生参加了一项综合技能测试,从中随机抽取100名学生的测试成绩,制作了以下的测试成绩(满分是184分)的频率分布直方图.
市教育局规定每个学生需要缴考试费100元.某企业根据这100000名职业中学高三学生综合技能测试成绩来招聘员工,划定的招聘录取分数线为172分,且补助已经被录取的学生每个人元的交通和餐补费.
(1)已知甲、乙两名学生的测试成绩分别为168分和170分,求技能测试成绩的中位数,并对甲、乙的成绩作出客观的评价;
(2)令表示每个学生的交费或获得交通和餐补费的代数和,把用的函数来表示,并根据频率分布直方图估计的概率.
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