Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）若为的极小值点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）递增区间为，递减区间为（2）

【解析】

（1）首先求出函数的导函数，记，则，分析的单调性，即可求出函数的单调性；

（2）依题意可得，记，则.

再令，则，利用导数分析的单调性，即可得到在有零点，即在单调递减，在单调递增，所以，再对分类讨论可得；

解：（1）当时，，

记，则，

当时，，，

所以，在单调递增，

所以，

因为，所以在为增函数；

当时，，，所以，

所以在为减函数.

综上所述，的递增区间为，递减区间为.·

（2）由题意可得，.

记，则.

再令，则.

下面证明在有零点：

令，则在是增函数，所以.

又，，

所以存在，，且当，，，，

所以，即在为减函数，在为增函数，

又，，所以，

根据零点存在性定理，存在，

所以当，，

又，，

所以，即在单调递减，在单调递增，

所以.

①当，，恒成立，所以，即为增函数，

又，所以当，，为减函数，，，为增函数，是的极小值点，所以满足题意.

②当，，令，

因为，所以，

故在单调递增，故，即有

故，

又在单调递增，

由零点存在性定理知，存在唯一实数，，

当，，单调递减，即递减，

所以，

此时在为减函数，所以，不合题意，应舍去.

综上所述，的取值范围是.