Question

已知函数f（x）=（ax²+x）e^x，其中e是自然数的底数，a∈R．
（1）当a＜0时，解不等式f（x）＞0；
（2）当a=0时，求正整数k的值，使方程f（x）=x+2在[k，k+1]上有解；
（3）若f（x）在[-1，1]上是单调增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据指数函数值大于0恒成立，将不等式f（x）＞0化为ax²+x＞0，结合a＜0，可得不等式f（x）＞0的解集；
（2）当a=0时，方程即为xe^x=x+2，即ex-

2

x

-1=0，令h（x）=ex-

2

x

-1，利用导数法可判断出h（x）的单调性，结合零点判定定理，可得正整数k的值
（3）求出函数f（x）的导函数的解析式，进而由f（x）在[-1，1]上是单调增函数，f′（x）≥0恒成立，对a进行分类讨论后，可得a的取值范围．

解答：解：（1）因为e^x＞0，所以不等式f（x）＞0即为ax²+x＞0，
又因为a＜0，所以不等式可化为x（x+

1

a

）＜0，
所以不等式f（x）＞0的解集为（0，-

1

a

）．
（2）当a=0时，方程即为xe^x=x+2，由于e^x＞0，所以x=0不是方程的解
所以原方程等价于ex-

2

x

-1=0，令h（x）=ex-

2

x

-1，
因为h′（x）=ex+

2

x2

＞0对于x∈（0，+∞）恒成立，
所以h（x）在（0，+∞）内是单调增函数，
又h（1）=e-3，h（2）=e²-2＞0，
所以方程f（x）=x+2有且只有1个实数根，在区间[1，2]，
所以正整数k的值为 1．
（3）f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x）e^x=[ax²+（2a+1）x+1]e^x，
①当a=0时，f′（x）=（x+1）e^x，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，当且仅当x=-1时取等号，故a=0符合要求；
②当a≠0时，令g（x）=ax²+（2a+1）x+1，因为△=（2a+1）²-4a=4a²+1＞0，
所以g（x）=0有两个不相等的实数根x₁，x₂，不妨设x₁＞x₂，
因此f（x）有极大值又有极小值．
若a＞0，因为g（-1）•g（0）=-a＜0，所以f（x）在（-1，1）内有极值点，
故f（x）在[-1，1]上不单调．
若a＜0，可知x₁＞0＞x₂，
因为g（x）的图象开口向下，要使f（x）在[-1，1]上单调，因为g（0）=1＞0，
必须满足

g(1)≥0 g(-1)≥0

即

3a+2≥0 -a≥0

，所以-

2

3

≤a＜0．
综上可知，a的取值范围是[-

2

3

，0]．

点评：本题考查的知识是利用导数求闭区间上函数的最值，函数的单调性与导数的关系，熟练掌握导数法在求函数单调性，最值，极值的方法是解答的关键．