Question

如图所示，点P在圆O：x²+y²=4上，PD⊥x轴，点M在射线DP上，且满足

DM

=λ

DP

（λ≠0）．
（Ⅰ）当点P在圆O上运动时，求点M的轨迹C的方程，并根据λ取值说明轨迹C的形状．
（Ⅱ）设轨迹C与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，直线2x-3y=0与轨迹C交于点E、F，点G在直线AB上，满足

EG

=6

GF

，求实数λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用

DM

=λ

DP

和PD⊥x轴，确定M，P坐标之间的关系，代入圆方程得：

x2

4

+

y2

4λ2

=1，对λ讨论，即可得到结论；
（Ⅱ）由题设知A（2，0），B（0，2λ），E，F关于原点对称，可设E，F，G的坐标，利用

EG

=6

GF

，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）设M（x，y）、P（x₀，y₀），由于

DM

=λ

DP

和PD⊥x轴，所以

x=x0 y=λy0

，∴

x0=x y0= y λ

代入圆方程得：

x2

4

+

y2

4λ2

=1--------------（2分）
当0＜λ＜1时，轨迹C表示焦点在x轴上的椭圆；
当λ=1时轨迹C就是圆O；
当λ＞1时轨迹C表示焦点是y轴上的椭圆．
（Ⅱ）由题设知A（2，0），B（0，2λ），E，F关于原点对称，所以设E(x1，

2

3

x1)，F(-x1，-

2

3

x1)，G（x₀，y₀），不妨设x₁＞0---------------（6分）
直线AB的方程为：

x

2

+

y

2λ

=1，把点G坐标代入得y₀=2λ-λx₀
又点E在轨迹C上，则有

x 2 1

4

+

x 2 1

9λ2

=1，∴x1=

6λ

9λ2+4

∵

EG

=6

GF

，∴x₀-x₁=6（-x₁-x₀），∴x0=-

5

7

x1
∵y₀-

2

3

x₁=6（-

2

3

x₁-y₀），∴x1=

-42λ

10+15λ

，
∴x1=

-42λ

10+15λ

=

6λ

9λ2+4

，∴18λ²-25λ+8=0，∴λ=

1

2

或λ=

8

9

．

点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，利用向量确定坐标之间的关系是关键．