Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的导函数的零点个数；

（2）当时，证明： .

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 当或时， 有一个零点；当时， 没有零点；(Ⅱ)详见解析．

【解析】试题分析：（1），所以当或时， 有一个零点；当时， 没有零点；（2）时， 在单调递增，在单调递减，最大值，所以原题等价于，即，设，求导得到最大值为，即．

试题解析：

(Ⅰ) 的定义域为，

若，由， 没有零点；

若或，由， ， ， 有一个零点；

若，由， ， 没有零点．

综上所述，当或时有一个零点；当时没有零点．

(Ⅱ)由（1）知， ， 时

当时， ；当时， .

故在单调递增，在单调递减.

所以在取得最大值，

最大值，

即.

所以等价于，

即，其中．

设，则.

当时， ；当时， .

所以在单调递增，在单调递减.

故当时取得最大值，最大值为

所以当时， .

从而当时，

即．