Question

【题目】椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为A，上顶点为B，且满足向量 。

（1）若，求椭圆的标准方程;

（2）设为椭圆上异于顶点的点，以线段PB为直径的圆经过F1，问是否存在过F2的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在满足条件的直线，斜率.

【解析】

（1）由上顶点为B和 ，可以判断出为等腰直角三角形，可以得，又右顶点为A，可以求出，利用，可以求出，最后求出椭圆标准方程。

（2）由（1）可知，利用，可以得出，椭圆方程可以表示成，由已知线段PB为直径的圆经过,设的坐标为，可知,得出一个等式，而为椭圆上异于顶点的点，又得到一个等式，通过两个等式可以求出的坐标，也就可以求出圆心坐标和半径。假设存在过F2的直线与该圆相切，通过圆心到切线等于半径，列出等式，如果能求出，就说明存在，求不出，就说明不存在。

（1）易知，因为，

所以为等腰直角三角形，

所以b=c，由可知，

故椭圆的标准方程为：；

（2）由已知得，

设椭圆的标准方程为，的坐标为，

因为,所以，

由题意得,所以，

又因为在椭圆上，所以,由以上两式可得，

因为不是椭圆的顶点，所以，故，

设圆心为，则，

圆的半径

假设存在过的直线满足题设条件，并设该直线的方程为，

由相切可知,所以 ，

即，解得

故存在满足条件的直线。