Question

【题目】椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为A，上顶点为B，且满足向量

(1)若A，求椭圆的标准方程;

(2)设P为椭圆上异于顶点的点，以线段PB为直径的圆经过F1，问是否存在过F2的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）由题易知，因为，所以为等腰三角形

所以b=c，由此可求，即可得到椭圆的标准方程;

（2）由（1）可得．，P的坐标为

则由题意得,即，又因为P在椭圆上，所以,联立可得

设圆心为 ，则，利用两点间的距离公式可得圆的半径r．设直线的方程为：．利用直线与圆相切的性质即可得出．

（1）易知，因为

所以为等腰三角形

所以b=c，由可知

故椭圆的标准方程为：

（2）由已知得,

设椭圆的标准方程为，P的坐标为

因为,所以

由题意得,所以

又因为P在椭圆上，所以,由以上两式可得

因为P不是椭圆的顶点，所以，故

设圆心为 ，则

圆的半径

假设存在过的直线满足题设条件，并设该直线的方程为

由相切可知,所以

即，解得

故存在满足条件的直线。