Question

定义在R上的单调函数f（x）满足f(2)=

3

2

，且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）求证：f（x）为奇函数；
（Ⅱ）若f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函数奇偶性的定义，结合抽象函数，证明f（x）为奇函数；
（Ⅱ）利用函数的单调性和奇偶性解不等式即可．

解答：解：（Ⅰ）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．
令y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，
即f（-x）=-f（x），∴函数f（x）是奇函数．
（Ⅱ）∵f(2)=

3

2

，f（0）=0，∴f（2）＞f（0），
又函数f（x）在R上的是单调函数，
∴函数在R上单调递增．
由f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0，
得f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（-3^x+9^x+2），
即k•3^x＜-3^x+9^x+2恒成立，
∴k＜

9x-3x+2

3x

，
∵

9x-3x+2

3x

=3x+

2

3x

-1≥2

3x? 2 3x

-1=2

2

-1，
当且仅当3x=

2

3x

，即3x=

2

，x=log3

2

时取等号．
∴k＜2

2

-1，
即实数k的取值范围是k＜2

2

-1．

点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用抽象函数研究函数的奇偶性，以及基本不等式的应用．综合性应用．