Question

【题目】已知函数f（x）=alnx﹣4x，g（x）=﹣x2﹣3． （Ⅰ）求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若存在x0∈[e，e2]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=alnx﹣4x，

∴f′（x）= ，

∴f′（1）=a﹣4，

故切线方程为y=（a﹣4）x﹣a；

（Ⅱ）h（x）=alnx+x2﹣4x+3，

∴h′（x）= ，

①若△=16﹣8a≤0，即a≥2，则h′（x）≥0，

则h（x）在（1，+∞）上单调递增，又h（1）=0，不符舍去

②若△＞0，则a＜2，

令h′（x）＞0得x＞1+ ，令h′（x）＜0得0＜x＜1+ ，

则h（x）在（0，1+ ）上单调递减，在（1+ ，+∞）单调递增，

又h（1）=0，则必有h（e）＜0

即a+e2﹣4e+3＜0，

∴a＜﹣e2+4e﹣3

【解析】（Ⅰ）求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求函数f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）h（x）=alnx+x2﹣4x+3，求导数，分类讨论，确定单调性，即可求实数a的取值范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)．