Question

【题目】已知二次函数满足： ，且该函数的最小值为1．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）若函数的定义域为（其中），问是否存在这样的两个实数， ，使得函数的值域也为？若存在，求出， 的值；若不存在，请说明理由．

（3）若对于任意的，总存在使得，求的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) (2) 存在满足条件的， ，其中， （3）

【解析】试题分析： 设，由，求出的值，可得此二次函数的解析式；

分时，当时，当时，三种情况讨论，可得满足条件的， ，其中， ；

若对于任意的，总存在，使得，进而得到答案；

解析：（1）依题意，可设，因，代入得，所以．

（2）假设存在这样的， ，分类讨论如下：

当时，依题意， 即两式相减，整理得

，代入进一步得，产生矛盾，故舍去；

当时，依题意，

若， ，解得或（舍去）；

若， ，产生矛盾，故舍去；

当时，依题意， 即解得， 产生矛盾，故舍去.

综上：存在满足条件的， ，其中， .

（3）依题意： ，

由（1）可知， ， ，

即在上有解；

整理得， 有解，

又 ， ，当时，有；

依题意： ．