Question

【题目】设△ABC是边长为4的正三角形，点P1 ， P2 ， P3 ， 四等分线段BC（如图所示）

（1）P为边BC上一动点，求 的取值范围？
（2）Q为线段AP1上一点，若 =m + ，求实数m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：以BC所在直线为x轴，AP2所在直线为y轴，

P2为坐标原点，建立直角坐标系，

则A（0，2 ），B（﹣2，0），C（2，0），P1（﹣1，0），

设P（t，0）（﹣2≤t≤2），则 =（﹣t，2 ）， =（2﹣t，0），

可得 =﹣t（2﹣t）+2 0=t2﹣2t=（t﹣1）2﹣1，（﹣2≤t≤2），

t=1时，取得最小值﹣1；t=﹣2时，取得最大值8．

则 的取值范围为[﹣1，8]

（2）解：设Q（x，y），由A，Q，P1共线，

可得 = ，

即有y=2 x+2 ，

则 =（x，2 x）， =（﹣2，﹣2 ）， =（2，﹣2 ），

若 =m + ，

则 ，

解得m= ．

【解析】（1）以BC所在直线为x轴，AP2所在直线为y轴，P2为坐标原点，建立直角坐标系，求得A，B，C，P1 ， 的坐标，求得向量PA，PC的坐标，运用数量积的坐标表示，再由二次函数在闭区间上的值域求法可得；（2）设Q（x，y），由A，Q，P1共线，运用斜率相等，求得y关于x的式子，再分别求得向量AQ，AB，AC的坐标，得到m，x的方程组，即可解得m的值．