Question

【题目】已知向量 =（2cosx，t）（t∈R）， =（sinx﹣cosx，1），函数y=f（x）= ，将y=f（x）的图象向左平移 个单位长度后得到y=g（x）的图象且y=g（x）在区间[0， ]内的最大值为 ．
（1）求t的值及y=f（x）的最小正周期；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 g（ ﹣ ）=﹣1，a=2，求BC边上的高的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ =（2cosx，t）， =（sinx﹣cosx，1），

∴函数y=f（x）= =2sinxcosx﹣2cos2x+t=sin2x﹣cos2x+t﹣1= sin（2x﹣ ）+t﹣1，

将y=f（x）的图象向左平移 个单位长度后，得g（x）= sin2x+t﹣1的图象，

当0≤x≤ 时，0≤2x≤ ，

∴ ，得t=1．

∴f（x）= sin（2x﹣ ），

最小正周期T=

（2）解：∵ g（ ﹣ ）=﹣1，

∴ g（ ﹣ ）=2[sin（A﹣ ）=﹣2cosA=﹣1，

解得：cosA= ，

故A= ，

又∵a=2，

此时△ABC的外接圆O中，a边2所对的圆角角为 ，

故当△ABC为等边三角形时，

a边上的高取最大值

【解析】（1）利用两个向量数量积公式和辅助角公式推知f（x）= sin（2x﹣ ）+t﹣1，由此求得该函数的最小正周期；根据三角函数的恒等变换求得函数g（x）= sin2x+t﹣1，根据正弦函数的值域的求法可以得到t的值；（2）由 g（ ﹣ ）=﹣1求得A，再结合正弦定理和余弦定理求BC边上的高的最大值．