Question

【题目】已知函数.

（1）当时,求在区间上的最大值和最小值;

（2）若在区间上, 函数的图象恒在直线下方, 求的取值范围;

（3）设.当时, 若对于任意,存在,使,求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）先求导数，再求定义区间上的零点，列表分析单调性，比较区间端点值大小，确定函数最值（2）原题等价于在区间上恒成立.利用导数研究单调性：由于，所以根据导函数零点讨论：若,在区间上是减函数, 若,有增有减，再结合，所以不满足题意，只有时（3）对于任意,存在,使,等价于，实际上求最值：，再变量分离得的最大值，利用导数可得的最大值，从而有

试题解析：（1）当时,,当,有;当,有,在区间上是增函数, 在上为减函数, 又,.

（2）令,则的定义域为,在区间上, 函数的图象恒在直线下方等价于在区间上恒成立.

①

① 若,令,得极值点,上有,此时在区间上是增函数, 并且在该区间上有,不合题意, 当,即时, 同理可知, 在区间上, 有,也不合题意,

②若,则有,此时在区间上恒有,从而在区间上是减函数, 要使在此区间上恒成立, 只须满足,由此求得的取值范围是. 综合① ②可知, 当时, 函数的图象恒在直线下方.

（3）当时, 由（2）中 ① 知在上是增函数, 在上是减函数, 所以对任意都有,又已知存在,使,即存在,使,即存在,,即存在,使.

,解得,所以实数的取值范围是.