Question

12．已知函数f（x）=a^x+$\frac{x-2}{x-1}$（a＞1），用反证法证明f（x）=0没有负实数根．

Answer 1

分析 设存在x₀＜0（x₀≠-1），满足f（x₀）=0，推出这矛盾，问题得以解决

解答 证明：设存在x₀＜0（x₀≠-1），满足f（x₀）=0，--------------------------------------（2分）
则${a^{x_0}}=-\frac{{{x_0}-2}}{{{x_0}+1}}$．
又0＜${a^{x_0}}$＜1，所以0＜-$\frac{{x}_{0}-2}{{x}_{0}+1}$＜1，--------------------------------------------（4分）
解之得：$\frac{1}{2}＜{x_0}＜2$，---------------------------------------------------（8分）
与x₀＜0（x₀≠-1）假设矛盾．
故f（x）=0没有负实数根．------------------------------------------------（10分）

点评 本题考查用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点．