Question

已知函数f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1．
（Ⅰ）当x=

4

3

π时，求f（x）值；
（Ⅱ）若存在区间[a，b]（a，b∈R且a＜b），使得y=f（x）在[a，b]上至少含有6个零点，在满足上述条件的[a，b]中，求b-a的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当x=

4

3

π时，代入f（x）的解析式，即可得到f（x）的值；
（Ⅱ）令f（x）=0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．若b-a最小，则a和b都是零点，此时在区间（a，mπ+a）（m∈N^*）恰有4个零点，即可得到a，b满足的条件，进一步即可得出b-a的最小值．

解答：解：（1）当x=

4

3

π时，f(x)=2sin(2×

4π

3

+

π

3

)+1=2sin(3π)+1=2sinπ+1=1；
（2）f(x)=0⇒sin(2x+

π

3

)=-

1

2

⇒x=kπ-

π

4

或x=kπ-

7

12

π，k∈Z，
即f（x）的零点相离间隔依次为

π

3

和

2π

3

，
故若y=f（x）在[a，b]上至少含有6个零点，
则b-a的最小值为2×

2π

3

+3×

π

3

=

7π

3

．

点评：本题综合考查了三角函数的周期性、函数的零点等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．