Question

【题目】已知，为抛物线上的两个不重合的动点，且，满足，.

（1）证明：线段的垂直平分线经过定点；

（2）若线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）设线段的中点为，可直接算得，再用表示，列出线段的垂直平分线的方程，再找到此方程经过的定点；（2）联立方程组，根据判别式判断参数的取值范围，再列出的关系式，再根据函数单调性求出面积的最大值。

解：（1）设线段的中点为，由题意，，

则，，

因为.

所以线段的垂直平分线的方程是，

即.

所以线段的垂直平分线经过定点.

（2）直线和抛物线方程联立得

，，

解得.

由题意可得.

，

定点到线段的距离，

所以，

令，.

，

所以函数在上单调递增，在区间上单调递减，

所以在上的最大值为.

综上，.