Question

【题目】为改善居民的生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建，已知原公园是直径为200米的半圆形，出入口在圆心处，为居民小区，的距离为200米，按照设计要求，以居民小区和圆弧上点为线段向半圆外作等腰直角三角形（为直角顶点），使改造后的公园成四边形，如图所示．

（1）若时，与出入口的距离为多少米？

（2）设计在什么位置时，公园的面积最大？

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）设，在中可表示，进而可表示，则在在中利用余弦定理即可得解.

（2）设∠AOB＝α，利用余弦定理得到以及三角形的面积公式得到关于α的面积表达式，结合三角函数求最值．

解：（1）设则在中在中

则米

（2）如图，设∠AOB＝α，则AB2＝OB2+OA2﹣2OB×OA×cosα＝50000﹣40000cosα，

又12500﹣10000cosα，又200×100sinα＝10000sinα，

∴S四边形OACB＝S△ABC+S△AOB＝12500﹣10000cosα+10000sinα＝10000（sinα﹣cosα）+12500＝10000sin（）+12500，

∴当sin（）＝1，即时，四边形OACB面积最大为（1000012500）m2．