Question

【题目】已知定义在区间（﹣1，1）上的函数f（x）= 是奇函数，且f（ ）= ，
（1）确定f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的单调性并用定义证明；
（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是奇函数，∴f（0）=b=0，

则f（x）= ，

∵f（ ）= ，

∴f（ ）= = ，解得a=1，

即f（x）=

（2）解：f（x）为增函数；

设﹣1＜x1＜x2＜1，

则f（x1）﹣f（x2）= = ，

∵﹣1＜x1＜x2＜1，

∴x1﹣x2＜0，﹣1＜x1x2＜1，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

即函数f（x）是增函数

（3）解：∵f（x）为奇函数，

∴不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．

等价为f（t﹣1）＜﹣f（t）=f（﹣t），

则等价为 ，即 ，解得0＜t＜

即原不等式的解集为（0， ）

【解析】（1）根据条件建立方程关系即可确定f（x）的解析式；（2）根据函数单调性的定义即可判断f（x）的单调性并用定义证明；（3）利用函数奇偶性和单调性之间的关系即可解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较，以及对函数的奇偶性的理解，了解偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．