Question

【题目】如图，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l上的点M（﹣1，0）的直线l1交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为P．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）若|MA||MB|＝λ|OP|2，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）y2＝4x；（Ⅱ）λ∈（0，）．

【解析】

（Ⅰ）由题意得抛物线方程；
（Ⅱ）设直线 与联立抛物线，由设而不求的方法得点横纵坐标的关系，计算 的值，得出参数的取值范围．

（Ⅰ）抛物线的准线方程为：x＝﹣1，所以抛物线C的方程为：y2＝4x；

（Ⅱ）设直线l1的方程为：x＝my﹣1，代入抛物线中得：

y2﹣4my+4＝0，△＝16m2﹣16＞0，∴m2＞1，
设A（x，y），B（x'，y'），

∴y+y'＝4m，yy'＝4，
|MA||MB||y﹣yM||y'﹣yM|＝（1+m2）|yy'|＝4（1+m2），
AB的中点P的坐标（2m2﹣1，2m），|OP|2＝（2m2﹣1）2+4m2＝4m4+1，
|MA||MB|＝λ|OP|2λ，

令m2+1＝t（t＞2），
则λ在（2，+∞）上是减函数，
故λ∈（0，）．