Question

设满足以下两个条件的有穷数列a₁，a₂，…a_n为n(n＝2，3，4…)阶“期待数列”：

①a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_n＝0；

②|a₁|＋|a₂|＋|a₃|＋…＋|a_n|＝1．

(1)若等比数列{a_n}为2k(k∈N*)阶“期待数列”，求公比q；

(2)若一个等差数列{a_n}既是2k(k∈N*)阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；

(3)记n阶“期待数列”{a_i}的前k项和为S_k(k＝1，2，3…，n)：

(ⅰ)求证：；

(ⅱ)若存在m∈{1，2，3…n}使，试问数列{S_i}能否为n阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)若，则由①＝0，得， 　　由②得或． 　　若，由①得，，得，不可能． 　　综上所述，． 　　(2)设等差数列的公差为，＞0． 　　∵，∴， 　　∴， 　　∵＞0，由得，， 　　由题中的①、②得， 　　， 　　两式相减得，，　∴， 　　又，得， 　　∴． 　　(3)记，，…，中非负项和为，负项和为， 　　则，，得，， 　　(ⅰ)，即． 　　(ⅱ)若存在使，由前面的证明过程知： 　　，，…，，，，…，， 　　且…． 　　记数列的前项和为， 　　则由(ⅰ)知，， 　　∴＝，而， 　　∴，从而，， 　　又…， 　　则， 　　∴， 　　与不能同时成立， 　　所以，对于有穷数列，若存在使，则数列和数列不能为阶“期待数列”．