Question

【题目】如图①，四边形中，，，，，为的中点.将沿折起到的位置，如图②.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）在图①中，，，根据翻折的性质得出在图②中，，，利用线面垂直的判定定理得出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得平面平面；

（Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，计算出平面的一个法向量，利用空间向量法可求得与平面所成角的正弦值.

（Ⅰ）因为四边形中，，，，，为的中点，

且，则四边形为矩形，所以，即，.

在图②中，，，

又因为，所以平面.

又因为平面，所以平面平面.

（Ⅱ）由得，

又，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

由，得、、、，

，.

设平面的法向量为，

则，即，令，得，可得，

又，设直线与平面所成角为，

所以.

因此，直线与平面所成角的正弦值为.